Résonateur Croix: quatre lames perpendiculaires couplées par une bague et quatre masselottes situées en bout de lame. Le principe est similaire à une lame vibrante, cependant le système impose une symétrie vibratoire qui tend à réduire les faibles variations de fréquence selon son orientation par rapport au champs de pesanteur. Les quatre masselottes sont en rotation en phase pour le premier mode vibratoire. Remarquons que bien que l’anneau de couplage ne se déforme que très faiblement, il sera aussi sollicité par le mouvement des quatre lames et participe ainsi à la rigidité des quatre bras.

Anneau oscillant: une bague circulaire qui se déforme en ellipse, avec quatre masselottes, et quatre bras de fixation. Les quatre masselottes auront un mouvement linéaire en opposition de phase pour le premier mode. Ce principe garde une double symétrie pour éviter les défauts de pesanteur, et permet de réduire les efforts sur la fixation. En effet le mouvement principal oscillant reste contenu dans la bague, les quatre lames servent uniquement à maintenir le résonateur en place et ne vibre que faiblement. Ce qui permet de réduire les pertes et donc d’augmenter le facteur de qualité. Remarquons que ce type de résonateur nous a permis d’observer d’autres modes vibratoires, qui ont un intérêt certain, et peuvent servir comme premier mode vibratoire par un redimensionnement de sa géométrie.

Anneau Oscillant, fréq. de 867 Hz, échappement a impulsion 1/8 ème de cycle

Double spiral inversé: deux lames couplées et agencées en parfaite symétrie, avec des masselottes au bout. Comme sur le principe du diapason, les bras vibrent en opposition de phase sur la simple excitation d’une lame. Ceci permet un gain supplémentaire en facteur de qualité. Effectivement l’énergie vibratoire contenue dans un bras est transmise à l’autre par faible couplage ce qui permet de la contenir et de la faire circuler plutôt que d’être absorbée par le support de fixation.

Double Spiral, fréq. De154 Hz, échappement a impulsion 1/2 de cycle

Différents styles de résonateurs ont été qualifiés. Leur facteur de qualité dépasse ceux des meilleurs balanciers spiraux. Nous avons pu mesurer des facteurs de qualité entre 500 et 2000 pour des fréquences entre 100 et 1000 Hz. Nous poursuivons notre recherche exploratoire de différents types de résonateurs avant d’entamer la phase d’optimisation d’une configuration précise.

Afin de réaliser notre premier échappement Résonique nous sommes partis sur les exigences suivantes : créer l’échappement le plus simple et efficace possible, adapté à des fréquences plus élevées, fonctionnant pour un oscillateur vibrant à des amplitudes nettement plus faibles, et atteignant un rendement supérieur. Il nous a paru donc nécessaire de réduire les problèmes de chocs et de trouver un système d’échappement continu ou celui-ci ne fait plus d’aller retour. Cela nous a orienté vers l’utilisation d’un échappement de type magnétique où les forces sont transmises sans contact.

Les premiers échappements Résonique présentés par De Bethune étaient constitués d’une roue faite dans un matériau ferromagnétique avec un profil de dent optimisé afin d’avoir un échange de force entre la roue d’échappement et les aimants fixés sur l’oscillateur de forme sinusoïdale. Ce type d’échappement présente, si l’on applique un moment de force, une plage de couple où la vitesse de rotation de la roue se synchronise à la fréquence de vibration du résonateur, et permet ainsi d’entretenir ses oscillations et de mesurer le temps. Bien que cette méthode permette une parfaite synchronisation entre la vitesse de l’échappement et les oscillations du résonateur, il s’est avéré qu’elle tend à trop accompagner l’oscillateur dans ses déplacements et crée donc des perturbations sur l’isochronisme de celui-ci. Nos premiers échappements nous ont permis d’entretenir des oscillateurs à hautes fréquences avec un rendement nettement plus élevé qu’un échappement standard, soit environ 70%.

Nous avons donc travaillé sur la recherche d’un échappement magnétique qui transmet cycliquement l’énergie sous forme d’une impulsion. Nous avons développé une roue avec un profil spécifique qui transfert l’énergie sur une part plus courte du mouvement de l’oscillateur. La force est transmise par impulsion, comme c’est le cas pour un échappement à ancre standard. Ce profil permet de réduire la durée de contact (magnétique) entre les deux organes et réduit donc nettement les perturbations de l’isochronisme du résonateur, tout en gardant un rendement élevé.

Nous avons même été plus loin en testant les possibilités d’entretenir un oscillateur sur une part réduite de son cycle, c’est-à-dire à une vitesse inférieure à un multiple entier près de sa fréquence. Ceci garantit une liberté de mouvement sur une période encore plus grande du résonateur. C’est le principe de l’échappement à détente qui nous en a donner l’idée: il transfert son énergie au balancier spiral deux fois moins souvent qu’un échappement à ancre ce qui lui confère des qualités chronométriques élevées. Cette possibilité a été envisagée car l’amélioration du facteur de qualité de nos oscillateurs réduit la proportion de perte d’amplitude en fonction du nombre d’oscillations libres. Par exemple si on donnait une impulsion à un balancier spiral de bonne qualité Q=250 que toutes les 2 oscillations, en équivalence on pourrait donner une force que toutes les 12 périodes à un oscillateur de facteur de qualité Q=1500.

Ces recherches nous ont permis d’améliorer considérablement les problèmes de variation de marche. L’échappement magnétique à impulsion reste un peu plus délicat pour maintenir la synchronisation. Forts de nos connaissances et expériences, nous sommes maintenant en phase de tester des échappements plus proches de ceux que l’ont connait en horlogerie: des échappements qui garantissent la synchronisation tout en laissant l’oscillateur libre. Le dispositif sera un peu plus complexe mais reste dans l’optique d’être le plus simple et efficace. Nous en reparlerons sur ce blog.

Comparaison entre l’échappement à impulsion cyclique et l’échappement sinusoïdale à 8 dents

Juin 2012      Publication dans le Bulletin SSC n°69                              « De nouvelles pistes pour le développement de la montre mécanique de précision haute fréquence  »                               Décembre 2011      Présentation publique de la résonique chez De Bethune à la Chaux.

La fréquence des oscillateurs est liée aux matériaux ainsi qu’à la géométrie des pièces, elle est déterminée  à la conception. La simulation par éléments finis permet de préciser ces variables, cependant, compte tenu des tolérances extrêmement faibles il est nécessaire d’ajouter un dispositif de réglage fin. L’horloger a ainsi la possibilité d’ajuster chaque oscillateur afin d’atteindre une précision de marche de l’ordre de la seconde.

L’oscillateur peut être vu en deux parties, une partie élastique qui se déforme et une partie inertielle qui représente la part la plus massive de l’oscillateur.

–          La rigidité peut être modifiée de plusieurs manières en touchant à la partie élastique de l’oscillateur : en affinant les épaisseurs par retrait de matière, en réduisant la longueur par une modification de la pièce de fixation, ou en modifiant la valeur du module d’élasticité par traitement thermique.

–          Modifier l’inertie se fait sur la partie massive, par retrait ou ajout de matière : c’est ainsi que sur nos derniers oscillateurs résonique, nous avons développé des masselottes asymétriques dont la position angulaire permet un réglage fin de l’inertie.

La vitesse de rotation élevée du rotor entraine-t-elle une usure prématurée des pivots ?

Pour les vitesses de rotation testées l’usure des pivots est négligeable. Elle apparait même significativement réduite par rapport à celle d’une ancre fonctionnant à une fréquence équivalente. En effet, étant donné que l’énergie est transmise en continu, les chocs et contraintes sur les pivots sont nettement réduits.

Avec quel matériau et avec quel processus de fabrication sont faits les oscillateurs ?

Les oscillateurs résonique que nous avons développés jusqu’à présent sont fabriqués à partir de plusieurs matériaux :

–          En Nickel-Phosphore fabrication par procédé LIGA.

–          En Silicium fabrication par procédé de gravure DRIE.

–           En alliages à base Nickel avec des propriétés élinvar.

De nombreux matériaux sont envisageables, chacun apportant différents avantages suivant le type d’oscillateur développé. Le matériau influe sur le facteur de qualité de l’oscillateur, ainsi que l’impact des variations de température sur la fréquence.

Y-a-t-il des complications dans la mise en application de la résonique en une montre bracelet ?

La mise en application de la résonique dans une montre bracelet ne pose pas de difficultés majeures. Le système résonique est relativement simple et permet d’améliorer la précision en travaillant principalement sur l’oscillateur. Il est donc tout à fait possible de l’intégrer dans un mouvement standard moyennant quelques adaptations.

Pour la mise à l’heure?

La mise à l’heure se fait de manière standard. Cependant nous avons choisi d’arrêter le mouvement pendant la mise à l’heure afin de ne pas appliquer de contraintes supplémentaires sur le rotor. Lorsque l’on active la mise à l’heure, le rotor est donc stoppé. Il est ensuite redémarré par un lanceur dès que l’on quitte le mode de mise à l’heure.

Pour le remontage ?

Pour l’énergie motrice nous avons décidé d’utiliser plusieurs barillets en série. Ceci a pour effet d’avoir un couple équivalent à un barillet unique mais de multiplier le nombre de tour de développement total. Il est donc possible de stocker plus d’énergie en gardant les mêmes contraintes. Le remontage se fait sur le dernier barillet manuellement ou automatiquement, suivant les procédés connus, et ne perturbe pas le fonctionnement du mouvement.

Quelle est l’autonomie d’une montre résonique ?

L’autonomie d’une montre dépend de nombreux paramètres : la fréquence, la puissance de l’oscillateur, et  la quantité d’énergie stockée. Le rendement global détermine alors la réserve de marche. L’autonomie d’une montre est donc un compromis entre précision et durée de marche. Le projet de recherche résonique s’est fixé le but d’améliorer ce compromis.

Quelle est l’influence de la température sur l’oscillateur ?

Comme c’est le cas pour un balancier-spiral une variation de température provoque une variation de fréquence de l’oscillateur. En effet une augmentation de la température dilate l’oscillateur, mais également, modifie le module d’élasticité. Afin de limiter ces impacts et plus particulièrement le second, le choix du matériau a toute son importance. Il faut donc que celui-ci ait un module d’élasticité qui ne varie quasiment pas, comme les alliages type élinvar ou bien encore le silicium traité avec des oxydes. Il est aussi possible de créer des compensations par variation d’inertie en utilisant des bilames se déformant avec la température.

 Les variations de l’aimantation entrainent-t-elles une variation de la fréquence de l’oscillateur, comme pour un pendule magnétique ?
Non, les aimants servent uniquement à transmettre l’énergie, par le biais de force magnétique. Une variation de l’aimantation entraine une variation de l’amplitude de l’oscillateur mais pas de la fréquence. La fréquence est garantie uniquement par l’inertie et les propriétés élastiques de l’oscillateur.

 Comment se comporte l’aimantation dans la durée ?
Avec les matériaux modernes, aimant néodymes par exemple, la désaimantation due au vieillissement ou à l’action d’un champ magnétique (pas trop intense), peut être considérée comme négligeable. Le fabricant garantit une perte de moins de 5% par siècle, dans des conditions d’utilisation normale, température en dessous de 80°C et champ à proximité pas trop intense. Nous avons une sécurité qui permet 25% de variation de l’aimantation, nous pouvons donc considérer que les aimants seront suffisamment actifs pour les 500 prochaines années.

Quelle est l’influence de la variation de température sur les aimants ?
Le champ rémanent des aimants permanents varie en effet avec la température, la variation est faible et réversible jusqu’à la température maximum d’utilisation, l’aimantation disparait complètement à la température de Curie. Les aimants utilisés ont une température maximum de 100°C, une température de Curie de 300°C et un coefficient de variation de la rémanence en température de -0.1% par °C à partir de 20°C. Une température de 70°C provoquera une baisse de 5% ce qui entre dans nos tolérances.

 L’influence des aimants est-elle néfaste sur le reste du mécanisme?
Les aimants utilisés ont des dimensions très réduites, le champ magnétique présent est donc très localisé. Le champ magnétique présent sur le reste du mécanisme peut être considéré comme négligeable, même à long terme, il n’est pas suffisant pour aimanter d’autres pièces mécaniques.

Un champ magnétique élevé peut-il dégrader les aimants ?
Oui, s’il est réellement élevé. Dans de telles conditions d’utilisation une montre classique subirait elle aussi des problèmes de magnétisation du mécanisme. Pour une utilisation dans de telle condition, il est possible d’isoler le mouvement par une sorte de cage de Faraday en mu-métal. La montre est alors considérée comme amagnétique, insensible aux champs magnétiques.

Pour entretenir un résonateur à haute fréquence, le principe de l’échappement à ancre conventionnel a dû être revu. Une augmentation en fréquence de l’organe réglant demande à priori plus d’énergie pour entretenir l’oscillateur. Les quatre paramètres physiques qui permettent de réduire cette énergie sont une réduction de la masse ou de l’inertie de l’oscillateur, une réduction de l’amplitude du mouvement oscillant, une augmentation du facteur de qualité de l’oscillateur, un meilleur rendement de transmission de l’énergie entre l’organe moteur et l’organe réglant.

Illustration de la chaine cinématique d’un mouvement de montre traditionnel.

Un échappement à ancre classique consommerait beaucoup trop d’énergie. Imaginez cette ancre ainsi que l’ensemble des rouages de la mécanique qui doit plusieurs centaines voir milliers de fois par seconde, être accélérée puis arrêtée. L’ancre et sa roue ont beau être les plus légers et solides possible, les lois physiques sont incontournables, toute modification de la vitesse d’un objet demande de l’énergie, que ce soit pour l’accélérer ou le freiner, à cela il faut ajouter les chocs et frottements; le bilan énergétique est alors désastreux.

Illustration de la chaine cinématique d’un mouvement de montre résonique.

La résonique a dû réinventer son échappement. Un échappement continu où l’énergie n’est plus transmise par petite impulsion mais en une sinusoïde continue. Plus d’arrêt de la mécanique, juste un défilement continu des rouages. Le rendement ne peut alors qu’être amélioré. Une des solutions trouvées par De Bethune est l’utilisation d’un échappement de type magnétique. L’énergie est transmise, sinusoïdalement, en continu.

Solution envisagée

Un organe moteur mécanique transmet un couple de force à un rouage démultiplicateur. En fin de rouage un rotor magnétique transmet l’énergie au résonateur sur lequel sont fixés des aimants permanents. La vitesse du rouage se synchronise à la fréquence propre du résonateur. Le résonateur dirige la mesure du temps, c’est l’organe réglant. Il contrôle la vitesse de défilement des aiguilles, par une division précise et régulière du temps.

Schéma du principe de mesure du temps résonique.

Le trio rotor, résonateur, aimants a la fonction d’échappement, alimentation en énergie et comptage des oscillations du résonateur. En effet le rotor transmet l’énergie au résonateur par le biais d’aimants permanents. Le résonateur se met à vibrer, il entre alors en résonnance avec le rotor et contrôle la vitesse du rouage. Une synchronisation entre la vitesse du rotor et les oscillations du résonateur a lieu, il y a un comptage continu des oscillations. A chaque passage d’une dent du rotor correspond une oscillation du résonateur. La vibration du résonateur est entretenue à sa fréquence propre tant que l’organe moteur fournit suffisamment d’énergie, l’amplitude de ses oscillations est quasi constante.

Les résonateurs utilisés ont remplacé le balancier-spiral usuel pour mieux satisfaire aux exigences et contraintes des hautes fréquences. Les pivots ont été supprimés, ils empêchent une augmentation du facteur de qualité avec la fréquence. Les résonateurs développés n’ont plus que des points de fixation, ils sont beaucoup plus rigides et permettent ainsi une utilisation de leur premier mode de vibration naturelle. A faible amplitude ils présentent un facteur de qualité nettement supérieur et un pouvoir réglant élevé. Une faible amplitude a pour avantage premièrement de rester dans la partie linéaire des déformations et ainsi prétendre à l’isochronisme, deuxièmement de réduire les frottements aériens, par une réduction de la distance parcourue et ainsi de l’amplitude de vitesse. Les organes réglant développés ont été nommés résonateurs, acoustiques ou à fréquences sonores d’une part pour leur gamme de fréquence qui est dans la gamme des fréquences audibles (20 Hz à 20 kHz), d’autre part car leur forme géométrique peuvent être très diverses. Peu importe la forme de l’objet vibrant ou même le type de vibration s’il est équilibré, si sa fréquence propre est stable, s’il présente un haut facteur de qualité, s’il est possible de l’entretenir, il peut servir à mesurer le temps avec précision.

Photos de deux résonateurs: un résonateur rotationnel 360 Hz à gauche, un résonateur de translation 890 Hz à droite

Une présentation publique, d’un prototype à 926 Hz, 6’667’200 A/h, a eu lieu le 8 décembre 2011. Le rotor contient 22 dents ou pôles magnétiques, il tourne à 2525.5 tours par minute, étant donné que le résonateur laisse passer une seul dent par oscillation. Cette vitesse de rotation n’est pas très élevée, en comparaison avec les vitesses d’autres applications mécaniques. Il est évident que l’augmentation en fréquence sera limitée par le nombre maximum de pôles magnétiques intégrables sur un rotor ainsi que par les limites physiques de vitesses maximales pour une rotation sans usure prématurée des composants.

Photos du prototype 926 Hz, la photo de gauche montre le prototype à l’arrêt, celle de droite en mouvement lors d’une synchronisation. Le rotor magnétique et le résonateur sont clairement visibles.

926 oscillations par seconde, c’est probablement le record actuel de la fréquence d’un organe réglant fonctionnant avec pour unique source de l’énergie mécanique. Pourtant le but de cette recherche n’est pas de battre des records de fréquence, mais d’expérimenter les possibilités et tester les limites physiques. La résonique permet d’élever la fréquence de l’organe réglant à des valeurs encore jamais atteintes. Il est fort probable qu’à long terme la résonique permette de s’aligner face à la précision au porté élevée des mouvements à quartz. Les deux axes de développement futur sont des tests à des fréquences supérieurs pour la recherche expérimentale et la réalisation de montres bracelets résoniques à des fréquences plus faibles, afin d’avoir des réserves de marche dépassant les 24h, les fréquences seront néanmoins au dessus de 100 Hz.

L’humanité possède depuis 2000 ans les connaissances mathématiques nécessaires et pourtant la science de la mécanique a dû attendre le XVIIème siècle pour se développer. Avant Galilée, né il y a 4 siècles et demi (1564), personne dans l’imprécision de la vie quotidienne n’a essayé de suggérer l’usage pratique du nombre, du poids et de la mesure pour en faire un élément de savoir précis. La création de la nouvelle science du XVIIème fut fondée sur l’idée platonique du monde basé sur des structures mathématiques. Il n’y aurait pas eu de Galilée ou de Descartes sans Archimède, ni de dynamique sans statique. La mécanique « classique » basée sur la science de la matière développée depuis le XVIIème est l’étude des principes de l’équilibre et du mouvement des corps. Elle est applicable grâce aux théories de la dynamique et aux principes de l’inertie.

L’instrument horloger fait partie intégrante du domaine de la mécanique « classique » née au début du XVIIème siècle. La création des instruments est le moyen utilisé par l’homme pour vérifier les principes de la science et son application pratique. Ils font partie du domaine de la mécanique « classique ». L’adjectif « classique » est utilisé pour distinguer ce thème scientifique d’autres développements plus récents comme la théorie de la relativité ou la mécanique quantique créée au début du 20ème.

Histoire de l’oscillateur

Depuis maintenant plus de trois siècles les montres mécaniques fonctionnent avec un balancier spiral comme organe régulateur. A la fin du XVII^ème après les tentatives de l’Abbé de Hautefeuille de fixer au balancier un ressort linéaire réglant qui a pour but d’obtenir un balancier à fréquence propre, Christian Huygens en 1675 améliore le principe en inventant le spiral et en le couplant à un balancier annulaire. Cet oscillateur a un avantage certain sur tous les autres puisqu’il a, à l’image du pendule vu précédemment, la propriété d’être isochrone.

Illustration de l’organe réglant conventionnel, la roue d’échappement, l’ancre, et le balancier-spiral.

De nombreuses versions d’échappements et balanciers-spiraux ont vu le jour depuis. L’utilisation de nouveaux matériaux et procédés de fabrication, ont permis une amélioration de la précision, une miniaturisation de certaines pièces et une augmentation de la fréquence. De nombreuses recherches techniques ont abouti afin de compenser les effets perturbateurs, comme la variation de température, l’influence de la force gravitationnelle et des forces centrifuges.

Cependant aucun grand changement conceptuel n’a eu lieu depuis, le cœur des montres reste le balancier spiral entretenu par une ancre. Portées au poignet, nos montres subissent des contraintes qui n’existaient pas pour les montres de poche. Aujourd’hui, une montre-bracelet portée au poignet est autrement plus « torturée ». Les changements de position sont rapides et désordonnés. Les lois physiques sont claires : pour compenser la violence des mouvements du poignet, il faut que les éléments soient le plus léger possible, avec une fréquence maximum.

Suite aux nombreux tests menés en laboratoire du premier balancier-spiral silicium auto-compensateur De Bethune avec son échappement silicium 72’000 A/h, présenté à titre expérimental à Bâle 2006, la certitude que le balancier-spiral entretenu par une ancre ne peut guère dépasser les 10 Hz (72’000 A/h) semblait évidente, pour des raisons de fiabilité et surtout de résistance mécanique face à l’usure du temps.

Illustration de l’évolution des différents composants pour organe réglant breveté par De Bethune depuis 2004

De Bethune a pris le pari de révolutionner le fonctionnement des garde-temps mécaniques en développant une montre à fréquence sonore avec un échappement magnétique.

L’idée d’un échappement magnétique date déjà de 1927, notamment l’échappement magnétique de Clifford. L’utilisation d’une lame vibrante pour réguler une horloge n’est pas non plus totalement nouvelle. La première pendule électrique de ce type date de 1866, et fut inventée par Louis Francois Clément Breguet (1804-1883). Cette dernière refait surface un siècle plus tard avec les diapasons des premières montres électriques. Des travaux de recherche sur la synchronisation entre un diapason et un balancier spiral ont eu lieu au début des années quatre-vingt.

L’idée nouvelle imaginée par De Bethune, est de réaliser la mise en résonnance d’un oscillateur acoustique, par une source d’énergie entièrement mécanique, afin de réguler un mouvement de montre.

– L’amélioration des qualités chronométriques d’une montre va de pair avec l’augmentation du facteur de qualité de sa base de temps, et celui ci est d’autant plus grand que sa fréquence propre est élevée.

– Pour des raisons statistiques, si on considère que les perturbations provoquent des retards ou des avances proportionnelles à la période d’oscillation, alors statistiquement plus la période d’oscillation sera courte, ou la fréquence haute, plus faibles seront les erreurs de marche.

– Un défaut d’équilibrage du balancier provoque des perturbations sur la marche diurne inversement proportionnel au carré de la fréquence. Il sera donc d’autant plus aisé d’équilibrer un résonateur haute fréquence.

Beaucoup d’exemples ont prouvé qu’une augmentation de la fréquence permet d’avoir une meilleure stabilité de la marche diurne au porté. L’amélioration des performances chronométriques passe donc obligatoirement par une augmentation en fréquence de l’organe réglant.

L’oscillateur à fréquence sonore remplace le balancier-spiral, oscillateur usuel d’une montre mécanique. Le balancier-spiral est un résonateur où l’inertie, (le balancier), est séparé de la partie ressort élastique, (le spiral). Le ressort spiral est très flexible, il n’est pas autoportant, c’est pourquoi le mouvement du balancier-spiral doit être confiné par des pivots à un seul degré de liberté, la rotation. En résonique, l’approche du résonateur est différente, les modes de vibration naturelle sont utilisés. L’inertie et la partie ressort ne font qu’un. Les parties oscillantes sont beaucoup plus rigides et donc portantes. Les points de fixations, la géométrie du résonateur et la nature du matériau utilisé déterminent le mode propre et la fréquence de vibration. Une oscillation à faible amplitude suffit pour avoir un organe réglant précis. Les résonateurs conçus par De Bethune ont une gamme de fréquences possibles très large entre 20 Hz et 20’000 Hz.

Illustration 3D de résonateurs avec les rotors magnétiques associés.

Les caractéristiques d’un résonateur mécanique dépendent de la géométrie, des propriétés de déformations élastiques du matériau utilisé, ainsi que de sa masse ou de son inertie. Selon l’équation (1) la fréquence du résonateur dépend de la raideur équivalente et de sa masse équivalente, un haut facteur de qualité provoque une déviation faible de la fréquence. La puissance de l’oscillateur dépend aussi de ces propriétés et de l’amplitude des oscillations, selon équation (2). Le pouvoir réglant du résonateur est proportionnel à la puissance contenue dans le système oscillant, plus il est élevé moins l’oscillateur sera sensible aux perturbations. Il est donc essentiel de dimensionner le résonateur à des puissances suffisantes.

(1) Fréquence (2) Puissance Translation Rotation
(3) Facteur de qualité (4) Puissance dissipée

Stratégie pour la haute fréquence mécanique

Une augmentation en fréquence entraine une forte augmentation de la puissance de l’oscillateur. Afin de rester à des énergies raisonnables, la stratégie De Bethune est de réduire considérablement l’amplitude de l’oscillateur, jusqu’à une puissance suffisante. Ceci justifie l’utilisation d’un oscillateur faible amplitude, d’autant plus que son facteur de qualité et son isochronisme sont meilleurs à faible amplitude. Si le facteur de qualité du résonateur a pu être augmenté la puissance de l’oscillateur peut elle aussi être augmentée dans la même proportion, ainsi la puissance à fournir, équivalente à la puissance dissipée par le résonateur, restera la même, selon l’équation (3). L’organe réglant consommera alors la même énergie, avec une haute fréquence, un facteur de qualité supérieur, et une puissance plus élevée. Les qualités chronométriques seront alors nettement améliorées.

Exemple

Prenons l’exemple concret suivant : on décide de passer d’une montre à balancier-spiral de 4 Hz à une montre résonique De Bethune de 800 Hz. La fréquence sera multipliée par 200, la puissance sera multipliée par 8’000’000, équation (2), il faut alors réduire l’amplitude par 894 pour avoir une puissance de l’oscillateur 10 fois supérieure au balancier spiral. Si le facteur de qualité est multiplié par 10, nous avons alors une montre qui consomme la même énergie, pour un facteur de qualité 10 fois supérieur, une puissance 10 fois plus grande, voir équation (4).

La recherche du résonateur idéal est très vaste, de nombreuses géométries sont possibles. La recherche d’optimum entre puissance et facteur de qualité en fonction de la fréquence reste le but ultime à atteindre.

Le concept de résonique a pu être simulé. Deux équations différentielles couplées par des forces magnétiques suffisent à démontrer numériquement la possibilité de synchroniser la vitesse de défilement d’un rouage et d’entretenir les oscillations d’un résonateur. Ces deux équations sont basées sur le principe de la deuxième loi de Newton qui lie l’accélération d’un corps de masse m avec la résultante des forces qu’il subit.

L’équation (1) modélise le mouvement angulaire du rouage. Le premier terme à gauche représente l’accélération angulaire du rotor et l’inertie totale du rouage, le deuxième terme le moment de force d’un barillet avec décroissance de force linéaire, le troisième terme le couple de force de frottement visqueux proportionnel à la vitesse de rotation, finalement le dernier terme le moment de force magnétique dépendant de la position de l’oscillateur et de l’angle du rotor.

L’équation (2) modélise le mouvement de l’oscillateur. Le premier terme à gauche représente l’accélération de l’oscillateur et sa masse équivalente, le deuxième terme la force de rappel élastique, le troisième terme les forces de frottement visqueuses proportionnelles à la vitesse, finalement le dernier terme la force magnétique dépendant de la position de l’oscillateur et de l’angle du rotor.

Les deux équations sont couplées par les forces magnétiques. Les forces magnétiques dépendent de la géométrie du rotor et de l’aimant ainsi que des matériaux utilisés. Elles sont calculées par la méthode des éléments finis pour chaque position angulaire du rotor et position de l’oscillateur.

L’analyse numérique par différences finies nous a permis de tester le concept. En modifiant les différents paramètres des équations, la simulation a permis de trouver des paliers de synchronisation. Une stabilisation de la vitesse du rouage et de l’amplitude de l’oscillateur est observée après une période transitoire. Sur la durée l’oscillateur compense la perte de moment de force du barillet ce qui permet de maintenir une synchronisation sur une échelle d’énergie assez large. Quelques perturbations aléatoires ont été ajoutées pour voir si la synchronisation tient. L’étude a permis de trouver des paliers avec des paramètres physiquement réalisables. Les simulations suffisent à confirmer les hypothèses et à dimensionner des prototypes qui fonctionnent.

Equations différentielles

I_1: moment d’inertie des rouages [kg ∙ m2] θ: angle parcouru par le rotor magnétique [rad] k_1: constante de couple du barillet [N ∙ m] θ_0: angle de parcours total du rotor [rad] η_1: coefficient de frottement [N ∙ m ∙ s] M(θ,x): moment de force magnétique [N ∙ m] m: masse équivalente [kg] x: déplacement de l’oscillateur [m] k_2: constante de raideur [N/m] η_2: coefficient d’amortissement [Ns/m] F(θ,x): force magnétique sur l’oscillateur [N]

Force magnétique

Les forces magnétiques ont été simulées par la méthode des éléments finis.  Cela permet de dimensionner la géométrie entre le rotor magnétique et les aimants permanents afin d’avoir un échange d’énergie par transmission d’une force la plus sinusoïdale possible lors d’une rotation à vitesse constante du rotor. Les simulations permettent de calculer les fonctions de couplage des deux équations différentielles précédentes.  Les simulations permettent de dimensionner une géométrie ou le champ magnétique permet un échange suffisant d’énergie mais reste très localisé afin de ne pas avoir d’effet perturbateur sur le reste des mécanismes.

Résonateur

Les résonateurs ont été simulés par la méthode des éléments finis, ainsi qu’avec différents modèles analytiques de prise en compte des pertes, flux de chaleur, frottement aérien, absorption par le support, et vibrations parasites. Les simulations permettent de tester les différents modes de vibrations. Cela permet d’atteindre les fréquences et puissances voulues. Elles permettent de tester les formes et matériaux qui donnent les meilleurs facteurs de qualité possible.

Oscillateur harmonique, un oscillateur dont l’évolution au cours du temps est décrite par une fonction sinusoïdale et dont la fréquence ne dépend que des caractéristiques du système.

Résonateur, appareil qui vibre par phénomène de résonance.

Résonance, un phénomène selon lequel certains systèmes physiques sont sensibles à certaines fréquences. Un système résonant peut accumuler une énergie, si celle-ci est appliquée sous forme périodique, et proche d’une fréquence propre.

Fréquence, désigne la mesure du nombre de fois qu’un phénomène périodique se reproduit par unité de temps. C’est l’inverse de la période T. Le Hz est l’unité de mesure de la fréquence la plus utilisée, avec pour unité de temps la seconde. Une alternance désigne une demi-période, 1 Hz vaut donc 7200 A/h.

Facteur qualité Q, mesure du taux d’amortissement d’un oscillateur. Un système très amorti a un Q faible. À l’inverse, un Q élevé correspond à un système peu amorti. Q peut être défini comme le rapport de la fréquence propre ν₀ à la largeur Δν de la bande passante de la résonance du système. Autrement dit, plus le facteur de qualité est élevé, plus la bande passante est petite, et plus la résonance est « piquée ».  Le facteur de qualité d’un oscillateur est proportionnel au rapport entre l’énergie contenue dans l’oscillateur sur l’énergie dissipée.

Puissance, quantité d’énergie par unité de temps.

Synchronisation, action de coordonner plusieurs opérations entre elles en fonction du temps.